3章問3
ポアソン分布の再生性と条件付き分布
(1)
ここでは解き方の指定で下記確率の合計Σを計算します。
P(X+Y=z)=ΣP(X=x)P(Y=z-x)
Σの対象はxで範囲は0からnまでとなります。
xに関係のないλ,nはΣの外に出し、
Σの中で二項分布(n,λ1/(λ1+λ2))を作成します。
Σ内の二項分布は1(全確率は1となるため)となるので
Σの外に出しておいた部分が残ります。
つまりλ1+λ2のポアソン分布になります。
(2)
P(X|X+Y)なので条件付き確率の定義通り計算します。
P(X=x,Y=n-x)/P(X+Y=n)
結果としては二項分布(n,λ1/λ1+λ2)となります。
意味合いとしては
・試行回数は観測結果の回数
・確率は各ポアソン分布の平均を使ってあらわしている
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