データ解析のための数理統計入門

指数分布の概要 統計学や確率論において、**指数分布（Exponential Distribution）**は確率分布の一つで、特に待ち時間や寿命をモデル化する際によく用いられます。この分布は、ランダムな事象が一定の平均速度で発生するプロセ...

正規分布の積率母関数と高次モーメントの計算 この記事では、確率変数 X が正規分布 𝑁(𝜇,𝜎2)に従うとき、積率母関数 𝑀𝑋(𝑡)を求め、 それを用いて高次のモーメント 𝐸を計算し、さらに歪度と尖度を導出する方法を解説します。 0. 正規...

ポアソン分布の概要 ポアソン分布は、単位時間または空間におけるランダムな事象の発生数をモデル化する離散確率分布です。その確率質量関数 (PMF) は次のように定義されます： ここで、 λ>0\lambda > 0λ>0 は平均発生数を表すパ...

ディリクレ分布とその応用：確率変数の分布を求める ディリクレ分布は、確率分布の中でも特に多変量データを扱う際に便利な分布です。この分布は、確率単体（全ての成分が正で、その和が1になる領域）上で定義され、機械学習やベイズ推定、自然言語処理など...

3章問6 一様分布における変数変換の問題 Yは区間上の一様分布 Xはyが与えられたときの一様分布となる (1)同時確率密度関数とXの周辺確率密度関数を求める ・同時確率密度関数は下記のように求めます。 f(x,y)=f(x/y)f(y) つ...

3章問5 同時確率密度関数から周辺確率、条件付き確率を求める問題 f(x,y)=C*exp(-x-y) (1) ・Cを求める Cを求めるにはx,yに対して全区域で積分をする必要があります。 yを優先に考えるとyの積分区間は(0<y<∞) x...

3章問4 同時確率分布f(x,y)=x*exp(-x(y+1))から周辺分布、条件付き分布を求める問題 積分ができてしまえば問題自体は難しくはないはず。 ・Xの周辺分布を求める yを0<y<∞の範囲で積分していきます。 fx(x)=∫f(x...

3章問3 ポアソン分布の再生性と条件付き分布 (1) ここでは解き方の指定で下記確率の合計Σを計算します。 P(X+Y=z)=ΣP(X=x)P(Y=z-x) Σの対象はxで範囲は0からnまでとなります。 xに関係のないλ,nはΣの外に出し、...

第3章問2 多項分布の問題 多項分布の確率は下記の通りとなります。 (1) 例えばX1の周辺分布は X1とそれ以外(X2,X3,...,Xn)の二項分布になる また、例えばX1+X2の周辺分布(X1とX2が出る回数の和)は (X1,X2)と...

今日から第3章となります。 (2章後半にある※のついた問題は筆者曰くレベルが高いので一周目では飛ばしてよいとのことです。) 第3章問1 条件付き確率の問題です。 四面体が出る目の数でXを和、Yを差とします。 回答と同じようにすべての場合の数...