文系が昼休みに勉強して統計検定1級を受ける㉒(第4章問1-2)

正規分布の積率母関数と高次モーメントの計算

この記事では、確率変数 X が正規分布
𝑁(𝜇,𝜎2)に従うとき、積率母関数 𝑀𝑋(𝑡)を求め、
それを用いて高次のモーメント
𝐸[𝑋𝑘]を計算し、さらに歪度と尖度を導出する方法を解説します。

正規分布の確率密度関数は次の形を持ちます：

標準正規分布を用いた積率母関数の導出
標準正規分布(Z = (X − μ)/σ)の積率母関数を求めてから
Xの積率母関数を求めます

標準正規分布Zの確率密度関数は次のようになります：

積率母関数
𝑀𝑍(𝑡)は次のように定義されます：
𝑀𝑍(𝑡)=E[exp(tZ)]

これを計算すると：

したがって標準正規分布の積率母関数は
𝑀𝑍(𝑡)=exp(t^2/2)
となります。

一般の正規分布 X は、標準正規分布 Z を用いて次のように表されます：
X=μ+σZ

積率母関数
𝑀𝑋(𝑡)は次のように定義されます：
𝑀𝑋(𝑡)=E[exp(tX)]

2.1 X を Z で表す
X=μ+σZ を代入すると：

exp(tμ)は定数なので、期待値の外に出せます。
また、E[e(tσZ)]=MZ(tσ)に標準正規分布の積率母関数
𝑀𝑍(𝑡)=exp(t^2/2)を適用します：

したがって：

積率母関数のに関する階導関数を用いることで、モーメントを求めます。
上記で求めてたMx(t)についてに関する導関数を順次計算します。
(3次まで記載してますが4次以降も同様に求められます。)

を代入して、各を得ます：

歪度は次の式で計算されます：

正規分布ではであるため

尖度は次の式で計算されます：

Kurtosis=3

歪度は、分布の非対称性（左右の傾き）を測る指標です。

歪度 = 0 であることは、分布が完全に左右対称であることを示します。
左右対称であるため、平均、中央値、最頻値がすべて一致します
正規分布においては、歪度が 0 であることが特徴であり、他の分布と区別する指標の一つです。

尖度は、分布の尾部の厚み（極端な値の発生頻度）を測る指標です。

正規分布では、尖度が 3 に固定されています。これは、標準的な「尖り具合」であり、極端な値（外れ値）が出現する頻度が「中庸」であることを示します。正規分布の尖度（3）と比較して：
- 尖度 > 3 の分布は「尖った分布」（leptokurtic）と言い、尾部が重く、極端な値の発生頻度が高いことを示します（例：t分布）。
- 尖度 < 3 の分布は「平坦な分布」（platykurtic）と言い、尾部が軽く、極端な値の発生頻度が低いことを示します（例：一様分布）。