文系が昼休みに勉強して統計検定1級を受ける⑳(第3章問7)

ディリクレ分布とその応用：確率変数の分布を求める

ディリクレ分布は、確率分布の中でも特に多変量データを扱う際に便利な分布です。この分布は、確率単体（全ての成分が正で、その和が1になる領域）上で定義され、機械学習やベイズ推定、自然言語処理などの分野で広く用いられています。
特に、カテゴリカルデータのモデリングやベイズ推定における応用が顕著です。

カテゴリカル分布の事前分布　応用例：

• ベイズ分類器：カテゴリカルデータのクラス確率を推定。
• 自然言語処理：トピックモデル（例：LDA）で単語分布の事前分布として使用。

潜在ディリクレ配分法 (LDA)　応用例：

• ニュース記事の分類：各記事がどのトピックに関連しているかを解析。
• 推薦システム：ユーザーの嗜好をトピックとしてモデル化。

混合分布モデル　応用例：

• 画像認識：画像ピクセルをクラスタリングしてセグメンテーションを行う。
• ユーザープロファイル：マーケティングにおいて、ユーザーを異なるカテゴリに分類。

今回は、確率変数 X,Y,Z がディリクレ分布に従う場合の特性を、以下のような問題を通じて解説します。

問題設定

確率変数 X,Y,Zの同時確率密度関数は、次のようなディリクレ分布に従うとします：

条件は下記の通りです。
0<x,y,z<1
$0<x,y,z<1$,
a,b,c>0

この設定に基づき、下記を考えます。

(1) V=X+Yの分布

まず、V=X+Yと置くと、残りの変数は Z=1−V となります。
このとき $V$ は 0<V<1 の範囲をとります。
ディリクレ分布の特性上、部分和 V=X+Y の分布はベータ分布に従います：

V∼Beta(a+b,c)

この結果は、ディリクレ分布が「部分和の分布」と「条件付き分布」に分解できる性質によるものです。

(2) T=Y, W=X/1−Y​ の周辺分布と独立性

・$T=Y$ の周辺分布
ディリクレ分布の周辺分布の性質から、T=Y の分布もベータ分布に従います：T∼Beta(b,a+c)

・W=X/1−Yの分布
条件付き分布 $X|Y=y$ を考えると、ディリクレ分布の性質から $X$ の条件付き分布は次のようにスケールされたベータ分布になります：
X∣(Y=y)∼Beta(a,c)
ここで、変数変換を適用すると、Wの分布も同じくベータ分布に従うことがわかります：W∼Beta(a,c)

結論

今回の結果をまとめると以下の通りです：

1. V=X+Yの分布はベータ分布 Beta(a+b,c) に従う。
2. T=Yの分布はベータ分布 Beta(b,a+c) に従う。
3. W=X/1−Y​ の分布はベータ分布 Beta(a,c) に従う。
4. Tと W は独立である。

ディリクレ分布とその関連する分布（ベータ分布）の性質は、確率論や統計学において非常に重要です。特に、多変量データの解析やベイズモデリングなど応用範囲は広く、今回の例はその基本的な性質を示す良い例です。